线性代数示例

$x^{8} + 80 x^{4} - 81 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $x^{8}$ 重写为 ${(x^{4})}^{2}$ 。

${(x^{4})}^{2} + 80 x^{4} - 81 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = x^{4}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{4}$ 。

$u^{2} + 80 u - 81 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} + 80 u - 81$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 81$ ，和为 $80$ 。

$- 1, 81$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 1) (u + 81) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{4} - 1) (x^{4} + 81) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{4} - 1 = 0$

$x^{4} + 81 = 0$

解题步骤 3

将 $x^{4} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x^{4} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $x^{4} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{4} = 1$

解题步骤 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

解题步骤 3.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 4

将 $x^{4} + 81$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{4} + 81$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} + 81 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $x^{4} + 81 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $81$ 。

$x^{4} = - 81$

解题步骤 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{- 81}$

解题步骤 4.2.3

化简 $\pm \sqrt[4]{- 81}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 81$ 重写为 $3^{4} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1

从 $- 81$ 中分解出因数 $81$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{81 (- 1)}$

解题步骤 4.2.3.1.2

将 $81$ 重写为 $3^{4}$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4} \cdot - 1}$

解题步骤 4.2.3.2

从根式下提出各项。

$x = \pm 3 \sqrt[4]{- 1}$

解题步骤 4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 \sqrt[4]{- 1}$

解题步骤 4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 \sqrt[4]{- 1}$

解题步骤 4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}$

解题步骤 5

最终解为使 $(x^{4} - 1) (x^{4} + 81) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 1, 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}$

解题步骤 6

定义域为全部有效 $x$ 值的集合。

${x | x = 1, - 1, 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}}$

解题步骤 7

线性代数 示例

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